Autor:
Enrique Hernando Arnáiz


LOS SORTEOS Y  LA  SUERTE

Un punto de vista matemático

Lotería billete

«¡La lotería!… ¡Oh!, ¡Palabra mágica! ¡Palabra encantadora!… ¡Como quien no dice nada! ¡La fortuna de cualquier hijo de Adán, adquirida de bóbilis bóbilis, sin necesidad de arar, tejer ni de hacer nada más que comprar, por unos pocos cuartos, una fortuna de miles y miles, pagadera al portador; y tenderse a la bartola esperando que llegue el día del sorteo!… ¡Oh!… Esta sí que es invención sabia, útil y filantrópica… ¡Y a nadie ha ocurrido erigir una estatua ecuestre, o pedestre o de cualquiera especie al inventor! Ciertamente la merecía algo más que otros héroes que vemos por ahí…»

La Lotería.
 J. G. de la Cortina. México, 1844

Estudios psicológicos acerca del dinero sugieren que los humanos somos capaces de saber lo que representan unos 500 000 euros: un buen coche, una buena casa… A partir de ahí parece que nos perdemos. Y es que tenemos una mente muy precaria para los números grandes.

 

Os propongo un apuesta…

Supongamos que alguien ha clavado, en algún lugar de la cuneta derecha de la autovía Burgos-Madrid (240 km de distancia), un listón de madera, que no refleja la luz y, por tanto, no puedes ver, muy alto pero de solo 2 cm de ancho. No tenéis ni idea de dónde se encuentra, pero circuláis de noche cerrada por esta autovía y en el asiento del copiloto lleváis una pistola cargada (no preguntéis). En algún momento, que podéis decidir libremente, bajáis la ventanilla del copiloto y, mientras miráis hacia adelante para no perder de vista la carretera, disparáis hacia la cuneta. UNA VEZ. Fácil. Si das al listón has ganado. ¿Te apostarías un café, una coca-cola o un euro a que le das? ¿Y si te ofreciese los 500 000 euros de los que hablaba antes?… Pues eso es lo que hacéis cada vez que echáis ¡una primitiva! ¡Una posibilidad entre 14 millones! De hecho, para que haya la misma posibilidad de ganar, el listón debería ser más estrecho aún: 240 km divididos entre 14 millones da ¡1,71 cm!


La ilusión del dinero

Origen e historia de la lotería

“…los romanos ya usaban una forma de lotería en sus fiestas…”

Aunque existen distintas versiones, parece ser que las palabras “lotería”, “lotto” y demás provienen de la palabra alemana “lot” que significa “suerte” o “acaso”, puesto que en la lotería todo depende de la suerte.

En cuanto a la historia, los romanos ya usaban una forma de lotería en sus fiestas en honor a Saturno, su dios de la agricultura y las cosechas, y llegó a estar muy de moda en tiempo de los emperadores Augusto y Nerón. Entonces no se sorteaba dinero, sino objetos de lujo o prevendas de los emperadores. Tras aquello su popularidad decayó y permaneció en el olvido. No fue hasta 1720, en la república de Génova, que se renovó el uso de este juego por la intervención de un particular, Celestino Galiano, que reformó ciertas reglas y combinaciones. Y no fue poca cosa el invento. Gracias a ello se libró de la pena de muerte a la que estaba condenado e incluso el gobierno le concedió cierta cantidad de dinero para agradecerle el gran “negocio” que le había brindado. Además, de esta forma, se convirtió en el único hombre al que le ha tocado la lotería sin haber jugado ni un solo número.

En España, el primer sorteo oficial se remonta al 10 de diciembre de 1763.

En cuanto a la historia reciente, el sorteo de Navidad cambió de 80 000 a 100 000 números no hace mucho. Fue la resolución nº 4 de 7 de marzo de 2011 de la dirección general de loterías para el sorteo extraordinario de Navidad (enlace).

Dice, literalmente:

En base a los estudios realizados [matemáticos, es de suponer], se realiza la siguiente modificación del sorteo:

ESTRUCTURA:
1.- La emisión pasará a ser de 180 series de 100 000 billetes cada una, del 00 000 al 99 999.

[180 series por 100 000 billetes por 10 décimos el billete son 180 millones de décimos. A 20 € cada uno son ¡3 600 000 000 de euros! Uffff…]

PREMIOS:
2.- Se repartirá en premios el 70 % del importe total de los billetes de que consta el sorteo. Esa es la esperanza matemática de este sorteo, pues aquí no hay bote.”

[No se venden todos los décimos pero, muy probablemente, tampoco se reparten todos los premios ¿no?]

Se incrementa, únicamente, el primer premio (de 300 000 a 400 000 euros), el segundo y los ocho quintos y se aumenta en veinte (¿solo en veinte?) el número de pedreas –las de seis euros al euro–, pasando a ser 1 794. De ahí esa infinidad de números a doble página y doble cara que sale en el diario al día siguiente.

 

Las probabilidades y la ley de los grandes números

“…la lotería de Navidad –o la del Niño y sorteos similares– no tiene mucho misterio desde el punto de vista matemático.”

Pero, ¿sabéis algo los matemáticos que sirva para ganar a la lotería? Respuesta simpática: No tenéis más que mirar mi cuenta corriente.

La verdad es que la lotería de Navidad –o la del Niño y sorteos similares– no tiene mucho misterio desde el punto de vista matemático.

El mundo de las probabilidades, a este nivel, lo domina la ley que determinó hace poco menos de cuatrocientos años el gran matemático francés Blaise Pascal, que también fue quien construyó la primera calculadora mecánica: Si todos los resultados de un experimento aleatorio son igual de probables (equiprobables, como es el caso de todas las loterías) la probabilidad de que suceda uno de ellos resulta de dividir el número de casos favorables –es decir, el número de décimos o participaciones diferentes que llevas– entre el número de casos posibles: los 100 000 posibles “gordos”. Del 00 000 al 99 999.

Además, el porcentaje de veces en que se va a ir dando cada uno de los posibles resultados se irá acercando cada vez más a la predicción que hace la ley de Laplace a medida que aumente el número de sorteos. Este resultado se llama ley de los grandes números. Cuantas más veces se repita el sorteo, más se acercarán los resultados a la predicción teórica.

Resultados primitiva
Resultados de premios de La Primitiva del 24-11-2018.

Echad un ojo, para comprobarlo, al resultado en cuanto a premios de alguno de los últimos sorteos de La Primitiva (os pongo, a modo de ejemplo, el del 24-11-2018): 13, 4 millones recaudados, es decir, 13,4 millones de apuestas y, exactamente, un solitario premio de seis aciertos. Justo lo que predice la teoría: un acierto de cada aproximadamente 14 millones de apuestas, como os decía al plantear mi apuesta inicial. ¡Casi cuadra perfecto! Además, la combinación ganadora no acertó el complementario, ¡una posibilidad de cada 140 millones!, por lo que se sumaron 2 millones al bote anterior. Si calculas los euros repartidos entre todos los premios, incluido el bote, salen 7 670 000 euros. Un 57,4 % de la recaudación repartido en premios.

Además, se produjeron 1,32 millones de reintegros. La teoría dice que deberían ser uno de cada diez. La Ley de los grandes números acierta de nuevo. Lo esperado era 1,32 millones. Sólo falla en un 0,8 %.

En serio, La Lotería, La Primitiva, El Euromillón, etc. son juegos de azar. Todas las combinaciones tienen la misma probabilidad de salir, pero ¿en cuál de esos sorteos hay más posibilidades –pero, claro, menor premio–?

 

La esperanza matemática

“¿Qué es un juego justo? Aquel en el que el premio que se reparte se corresponde al 100 % con las probabilidades que tienes de que te toque.”

Que las mates nos digan que es casi imposible que nos toque no significa que no podamos tirar de ellas para “racionalizar” nuestra apuesta si decidimos jugar. Esto lo averiguamos con lo que llamamos la esperanza matemática. ¿Qué es un juego justo? Aquel en el que el premio que se reparte se corresponde al 100 % con las probabilidades que tienes de que te toque. Si jugamos a “cara o cruz” que, en teoría, debemos ganar una de cada dos veces –la mitad de ellas–, lo justo es que por cada euro que juegues ganes dos –el doble– si aciertas. Decimos que la esperanza matemática en este juego sería del 100 %. Si te pagasen más del doble sería un juego ventajoso para ti (no busques juegos de esos por ahí, que no vas a encontrar) y si te pagasen menos… mal negocio ¿no? En La Primitiva –recordad la apuesta de la pistola y el palo en la cuneta– si jugases un euro a cada una de las casi catorce millones de combinaciones posibles acertarías seguro, sí, pero ¿cuánto ganas?

La Primitiva, Bonoloto, y lotos similares sólo reparten el 55 % de lo recaudado en premios así que vas a perder alrededor del 45 % de lo jugado. Eso sí, si hay bote que supere ese 45 % de recaudación que nunca se reparte ya merecería la pena. Pero, espera, ¿tendrás que repartir el premio con otros acertantes? Como lo matemático es que todas las combinaciones de números tienen las mismas posibilidades, lo recomendable es juegues las menos frecuentes, las que se supone que no juega nadie, para que tengas la esperanza de ganar más.

Algo diferente es la quiniela tradicional. El número de posibles combinaciones diferentes es de 3 elevado a la 15, unas 14,3 millones. Solo un poco más que en La Primitiva. Pero, ojo, no todas ellas son igual de probables. Aquí juega también la intuición. La esperanza matemática se complica. Eso sí, como en La Primitiva, también se destina un 55 % de la recaudación a premios.

En cuanto al gordo de Navidad, como es de 400 000 euros y para que nos tocase seguro deberíamos llevar los 100 000 números, si fuese justo los décimos deberían costar 4 euros. Poco más si contamos los demás premios, reintegros y pedreas.

 

Creencias irracionales

“¡Confundimos la probabilidad de que toque en esas administraciones con la de que nos toque a nosotros!”

Es interesante observar las variadas creencias que rodean a la lotería en todas sus formas. Mucha gente hace estadísticas, mira cuánto tiempo hace que no sale un determinado número, etc. pero ¡da igual!, el número 00 000 es igual de probable en el próximo sorteo de Navidad que cualquier otro. ¡Incluso que el que salió en el último sorteo! Da igual cómo te pongas.

“Se dirá, tal vez, que para conseguir el gran premio, el jugador no tiene más que una suerte favorable; pero esta circunstancia, que a primera vista parece una desventaja, queda suficientemente compensada con el valor del premio, que es veinte mil veces más de lo que se arriesga.”

Sí, pero solo tiene una posibilidad entre cien mil de que le toque…

“Podrá decirse también que el jugador entra, desde luego, a jugar con desventaja, porque la empresa cuenta siempre con una ganancia segura; pero esto es un error que la experiencia hace palpable a cada paso; pues si la empresa llega a tener la desgracia de vender un corto número de billetes y de que entre estos distribuya todos los premios que ofrecía, experimentará por necesidad una pérdida relativamente mucho mayor que la que puede sufrir un jugador. Citemos, por ejemplo, la lotería de Navidad; si por casualidad no vende más que dos mil números y entre ellos resultan todos los premios, ¿no experimentará una enorme pérdida al haber vendido sólo el 2 % de lo esperado y, sin embargo, tener que repartir el 100 % de lo prometido en premios?”

Recordad que aquí está jugando siempre la ley de los grandes números. A la larga, la proporción entre lo que se juega y lo que se gana lo dictará la esperanza matemática del juego, y ahí, si no es un juego justo, siempre tenemos las de perder. Ya nos encargamos nosotros de que eso de vender solo unos pocos números no pase ¿verdad? Si eso fuese realmente posible se pensarían mucho el supuesto negocio.

Publicidad, el boca a boca, repartir premios, compartir… Eso sí, es verdad que si la propaganda fuese para que diésemos fondos voluntariamente para aumentar las arcas del estado y así poder financiar las obras, infraestructuras, actividades, financiación, etc. que necesita el país… Igual no sacábamos suficiente, yo creo.

Es el mismo asunto que el de las administraciones de lotería “famosas por su suerte”: doña Manolita en Madrid, la bruja de oro en el pueblo de Sort (que significa suerte, manda narices), en Lérida y no sé si alguna más. Como somos así de –perdón por los palabros– “borregos anuméricos”, colas interminables muchos días antes del sorteo y unas ventas por internet impresionantes. Venden muchos más números que las demás y, por lo tanto, la probabilidad de que toque allí aumenta. Si venden tres de cada cuatro números del sorteo, aunque sólo sean un par de décimos de cada uno, la probabilidad de que repartan el gordo es ¡del 75 %! Pero, no te engañes, ¡la probabilidad de que toque el que has comprado tú no cambia!, sigue siendo de 1/100 000, es decir, el 0,001 %. ¡Confundimos la probabilidad de que toque en esas administraciones con la de que nos toque a nosotros! Sinceramente, cómpralo mejor en la administración de loterías de tu barrio, que dejas el dinero en tu ciudad y, al menos, generas negocio en tu zona.

“Si tenéis que jugaros el dinero a algún juego de azar, es mejor –matemáticamente hablando– la ruleta de los casinos que la lotería…”

Y no, aunque llevéis 30 años jugando al mismo número, la probabilidad de que salga sigue siendo la misma, el maldito 0,001 % ese. A este error se le conoce como “falacia de montecarlo” pues, en el verano de 1913, en una de las ruletas de su famoso casino, el negro había salido quince veces seguidas y todo el mundo iba como loco a apostar al rojo porque “ya tocaba”, cuando la probabilidad seguía siendo la misma de que saliese de nuevo negro. Confundimos este hecho con la probabilidad de que saliese dieciséis veces seguidas el mismo color: (18/37) elevado a la 16= 0,000 9 %.

Por cierto, y para aclarar, además, este último cálculo. Si tenéis que jugaros el dinero a algún juego de azar, es mejor –matemáticamente hablando– la ruleta de los casinos que la lotería (y no tengo comisión de los casinos, aunque no estaría mal): en la ruleta europea, frente a los 36 números que tiene con los que se reparten premios, solo hay uno, el cero, de color verde, con el que se lleva todo la banca y, como hemos contado, según la ley de los grandes números, hace que tenga la ganancia asegurada. Esto significa que reparten en premios –de nuevo, perdonad la insistencia, siempre que se juegue un número alto de veces– 36 de cada 37 euros que se jueguen, es decir, el 97,3 %.

[Cuidado si vais a Las Vegas u otro casino americano. Allí, además del cero verde, han puesto un doble cero “00” similar, por lo que la banca gana en dos de cada 38 veces (1 a 36+ el 0+ el 00), o sea, casi el doble que en Europa. El modo de juego y posibles tipos de apuesta también varían un poco.]

 

Comparando sorteos: El Gordo, La Primitiva, El Euromillón…

Es, prácticamente, 140 veces más difícil acertar los seis números de La Primitiva que el que te toque el gordo de Navidad. O, si nos ponemos en “modo optimista”, es 140 veces más fácil que te toque El Gordo de Navidad ¡si juegas el número suficiente de veces! Eso sí, claro, así como El Gordo de Navidad te atrae con 20 000 euros por euro jugado, para que La Primitiva fuese igual de “atractiva” debería pagar 140 veces los 20 000 euros, es decir, 2 800 000 euros al pleno de seis aciertos (sin el complementario); cantidad que no se alcanza pues esta reparte un porcentaje menor de lo recaudado que la lotería.

La probabilidad de que te toque el pleno del Euromillón es, aún, más “triste” si cabe. Diez veces menos que La Primitiva. Para que fuese un sorteo con la misma esperanza matemática debería dar un premio diez veces mayor que esta.

 

Números: ¡qué más da!

“si juegas por necesidad, perderás por obligación”

Además, por mucho que hablemos de las matemáticas de la lotería, la cosa se repite todos los años y – me temo– más aún cuanto peor ande la crisis de turno y la economía del personal. Como suelo decir, con las cosas de números muchos piensan: ¡qué más da! (ufff, no entiendo de eso… ¿que salgo perdiendo? Bueno, me resigno…) En fin…

Como llegó a decir hace unos años un eminente matemático: “la lotería es un impuesto que grava a los que no saben matemáticas” y, como decía la abuela de una amiga: “si juegas por necesidad, perderás por obligación”.

Sí, parece que los números así, en general, no dicen nada. Os pongo unos ejemplos (aproximados) para que nuestra querida intuición se haga una idea de lo que supone acertar el gordo de Navidad. Son experimentos con, más o menos, 100 000 posibilidades:

• Acertar con una gota concreta de entre todas las de una garrafa de cinco litros (unas cien mil gotas).

• Un latido en concreto de tu corazón de entre todos los del día.

• Uno de los pasos que darías si hicieses andando una maratón completa: 42,192 km.

• Una palabra en concreto de entre todas las de un libro de 300 páginas.

• Ah, y si la anchura del palo de la apuesta del disparo a ciegas en el viaje Burgos-Madrid, en lugar de corresponderse con acertar 6 en un sorteo de La Primitiva (1,71 cm), fuese la correspondiente a acertar el gordo de Navidad, debería ser de… ¿os fiáis de mí? ¡2,4 metros! ¿Os apostáis 20 euros? ¿Os apostáis más?

Otra cosa que no sé si sabréis: los premiados en la lotería del Niño  de 2019 pagarán impuestos por menos parte del premio que los agraciados en el sorteo de Navidad de este año. En mayo de 2018 se aprobó una modificación de la cantidad mínima exenta de pagar impuestos a hacienda por ganar en alguna de las loterías. De los 2500 euros “libres de impuestos” establecidos en 2013 en plena crisis se pasa a los 10 000 este año –de los 400 000 euros del gordo se tributará por 390 000– y, a partir del 1 de enero de 2019, a 20 000 euros, es decir, de los 200 000 euros del gordo del niño se pagarán impuestos “solo” por 180 000.

[Y subirá a los 40 000 libres de impuestos en 2020. En un principio, con esta medida de tributar por los premios se pretendía sacar más dinero de las loterías pero, como nos pasa muchas veces con estas decisiones, lo que se consiguió fue lo contrario, que se recaudase bastante menos porque la gente jugó menos pues si tocaba había que dar parte a la tan querida hacienda pública.]

 

El precio de la ilusión

Para acabar, os voy a ser sincero. Dicho todo esto, os tengo que confesar que he jugado un par de décimos. Ah, y si me hubiera tocado el reintegro lo habría invertido en el sorteo “del Niño”… «Haz lo que digo, y no lo que hago…».

Porque, hombre, la ilusión… no tiene precio.

 


Sobre el autor, Enrique Hernando Arnáiz:

Enrique Hernando - foto

Enrique es profesor de matemáticas del C. E. La Merced – Jesuitas (Burgos), profesor asociado del área de didáctica de las matemáticas en la Universidad de Burgos, coordinador del proyecto EsTalMat (Estímulo del Talento Matemático) en Castilla y León, pertenece a la Asociación castellana y leonesa de educación matemática “Miguel de Guzmán” y escribe y presenta la sección de matemáticas del  programa de televisión CIEN&CIA, de la Unidad de Cultura Científica e Innovación de la Universidad de Burgos.